УРАВНЕНИЯ И СТРУКТУРА БОКОВО ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ

В боковом возмущенном движении, как и в продольном, реализуются три степени свободы, но в отличие от продольного здесь две степени свободы связаны с вращением самолета относительно центра масс — движениями крена и рыскания, а одна — с поступа­тельным движением самого центра масс в направлении, перпендику­лярном плоскости симметрии. Таким образом, боковое возмущенное

Движение будет описываться, как и Продольное, тоже тремя уравне­ниями динамики, но два из них будут уравнениями проекций мо­ментов относительно осей ОХ и OY, а одно — уравнением проекций сил относительно оси 0Z. При составлении уравнений динамики целесообразно воспользоваться связанной системой осей координат. За связанную ось ОХ принимают или одну из главных осей инерции, или базовую ось самолета, от которой отсчитывается угол атаки. В последнем случае оси связанной системы ОХ и 0Y, как правило, не являются главными, а ось OZ совпадает с главной осью вследст­вие симметрии самолета ^относительно плоскости XOY. Если оси связанной системы координат не являются главными, центробежный момент инерции самолета Jxy отличен от нуля. Два других центро­бежных момента инерции Jxz и Jуг можно считать равными нулю, так как массы самолета разнесены практически симметрично относи­тельно плоскости OXY.

Уравнения моментов относительно связанных осей ОХ и 0Y были приведены ранее — уравнения 7 и 8 системы (15.1). Записав уравнение сил в связанной системе осей координат, получим систему уравнений динамики для бокового движения самолета

т (1/* — Vxay + Vyax) ~ Fkz,

JХ&Х у Jz) Jxy (Й>11 = XIfix’, (17.1)

Jy(Oy — (Jz Jx) ©*©* Jxy (юж — j — (s)yV>z) = Mfy.

Здесь FRz — проекция равнодействующей аэродинамических и гра­витационных сил, действующих на самолет; МЕх, МЕу — результи­рующие моменты крена и рыскания от аэродинамических сил и тяги относительно связанных осей. В нормальных условиях полета (при симметричной тяге) моменты от силовой установки равны нулю, и Мях — Мх, MRy = Му; Vx, Vy, Vz — проекции вектора скорости центра масс на связанные оси; ©ж, ©и, <ог — проекции вектора угло­вой скорости вращения самолета вокруг центра масс на те же оси. В силу сделанных допущений о том, что в исходном режиме <о* = = ©2 = = 0, нелинейные члены в левых частях уравнений мо­

ментов можно исключить. Проекции скорости центра масс в уравне­нии равновесия сил выразим через углы а и Р

Vx — У0 cos р cos а°; Vy — —V° cos ji sin а°; Vz — V° sin ji.

Таким образом уравнения (17.1) можно представить в следующем виде (при = О): Чгь-р

• mV0 (Р — cosa0©^ — slna0©^) = F^z;

J у® у J ху&х — Му‘, (17.2)

Решив первое уравнение системы (17.2) относительно Р, а два последних относительно ©зс И ©J,, получим р —~Ffiz — f cos a©y + sin а©ж; &У — МУ, &Х — ЙХ. (17.3)[33]

Jх&х J X у&у — Мх.

Через FRz обозначено отношение поперечной силы FRz к произведе­нию массы на скорость. Условно назовем это отношение приведен­ной поперечной силой. Она складывается из проекций аэродинами­ческой и гравитационной сил на ось 0Z:

Ffiz = -~р — + -~f cos Osin у « Z — f cos fty = — ynz + jr cos Oy.

(17.4)

z

Здесь Z — поперечная аэродинамическая сила; nz == —- по­

перечная перегрузка. Величины Мх и Му можно назвать приве­денными моментами рыскания и крена. Решив систему уравнений моментов (17.2) относительному и Гож, получим

(17.5)

Поперечная перегрузка и моменты аэродинамических сил* при ма­лых возмущениях параметров бокового движения или малых откло­нениях рулей являются линейными функциями этих параметров и углов отклонения органов управления боковым движением. Осевые и центробежный моменты инерции в интервале времени, в течение которого протекает возмущенное движение, можно считать постоян­ными. Таким образом, уравнения динамики (17.3) преобразуются в систему трех линейных неоднородных дифференциальных урав­нений с постоянными коэффициентами и четырьмя неизвестными: Р, со* С0у, у. Добавив к ним кинематическое уравнение, связы­вающее производную угла крена с угловыми скоростями крена и рыскания, получим замкнутую систему линейных дифференциаль­ных уравнений с постоянными коэффициентами, описывающую боко­вое возмущенное движение

Р = Zpp — f cos асоу — f sin ttcOjj — f — cos by — f — 2вн6н — f Z6%;

йу — + лфч + MX + My% + M°y%; (17.7)

= м% + Сч + M*xax + A#’6H + M>6U;

Y = to* — tg’&coy.

При исследовании траєкторного движения к уравнениям (17.7) сле­дует добавить кинематические уравнения [см. (15.8)1

Д*е = — УД¥; Дір = ф — f — slnay — Р; Ф =

В более общем виде уравнения бокового возмущенного движения можно записать следующим образом:

Р = «цР “ I" «12-Ь nl№x “ I" ПиУ ™lA т12^а т1!$г>

= «2іР «22-f — «23®a “Ь "Ь т2?$-б “Ь тіФг (17.8)

(Ьх = ПаїР “Ь «32® £/ "Ь «33®а: + т31&н “Ь т32^э "Ь т3зРг!

Y = + «42 «>„.

Коэффициенты Пц имеют вид

zp

сі1 г. п

nla = cos а; а = аг. ц;
n13 = sin а;

«и = 4 cos ^ ~ 4-cos «г. п*>

Пп-МЇ-Оу^тУ + тУ^); *

«23 — ^У — Dy-^y — (тУ + т*ж

n31 = ^ = D3C(/np + /пр ; Dx =

-£-«?*; п « = ^ =

П„ — Л? — о, ^ТГ (т"“+т?“ !

тіа—- ^Л7" ^ 0»

«іаз == МІ* = Dy [tnyz f m* ; тп = МІ” = Dx (m* + m” -^); m32 = Mx3 =-■ Dx (rnx3 + mj> ;

m33 — Mlz = Dx (m* + tny* -^).

В уравнениях (17.8) отсутствуют слагаемые, содержащие коэффи­циенты п24 и «34, так как угол крена влияет на моменты Мх и Му только вблизи земной поверхности. Мало слагаемое с коэффи­циентом «і12, так как отклонение элеронов практически не влияет на поперечную силу Z. Если самолет имеет ОНУБС, коэффициенты «і2в и «ізз должны быть малыми, так как в противном случае управле­ние этим органом будет сопряжено с большими трудностями.

Уравнения (17.8) с коэффициентами (17.9) справедливы незави­симо от того, являются ли оси^связанной системы координат глав­ными осями инерции или нет. В первом случае в коэффициентах (17.9) следует считать Jxy = 0.

Управляемое боковое движение самолета описывается системой неоднородных линейных дифференциальных уравнений, в которой управляющие воздействия 6„, 6, и Ьг считаются известными функциями времени. При исследовании боковой устойчивости полагают, что 6Я = 6* = 0* = 0, а один или несколько параметров бокового движения в начальный момент времени ие равны нулю. В этом случае возмущенное движение самолета будет описываться системой четырех однородных дифференциальных уравнений, кото* рая получается из уравнений (17.и) путем отбрасывания слагаемых, содержащих б„, 6Э, 62.

Структура собственного бокового возмущенного движения опре­деляется общим решением системы однородных дифференциальных уравнений, которая получается из системы (17.8) при 6Я = 68 *= = б* = 0. Эта система четырех линейных дифференциальных урав­нений с постоянными коэффициентами. Характеристический опре­делитель этой системы А имеет вид

(Я, — «и)	—«И	—«13	—«и
— «21	(Я, — «и)	—«88	0
— «81	—«88	(Я, — «зз)	0
0	«48	— 1	Я,

Раскрыв определитель А, получим характеристическое уравнение бокового движения

Я,4 + «3*,8 + aj? + ах + Оо = 0. (17.10)

Оно имеет тот же вид, что и характеристическое уравнение гіродоль — ного движения, но значения коэффициентов С| здесь иные. Они вы­ражаются следующим образом:

а3 = -7? — А$» — Мхх = — f ng — Му« — Мхх;

а2 = —Щ cos о — Alg sin о + 2?ЩУ -f а£* ( Z® + Муи) —

аг = cos a-2? (RfpM** — K*M*U) —

— Ml cosa {Kfyx + — f ) — sin a (Fftftj + Ml — f A3g);

«о= — — у^Щ, {cosaMxy Ь sina, Mxx^j — МІ {sinaMyx f cosa/W^ J •

(17.11)

Характеристическое уравнение бокового движения, как правило, имеет два действительных (Я, х и Я, а) и два комплексных сопряженных (Я,3,4) корня. С учетом этого характеристическое уравнение (17.10) можно записать следующим образом:

А = (Я — Я4) (Я, — Яа) (Я,2 2/ібЯ + (Об) = 0 . (17.12)

Общее решение уравнений бокового движения имеет вид Р = + Ajh* + Ле-V sin (у со£ — h%4 + ф1);

% = Бхем + Баея,< + Бае“ V sin (/ю§-/г£ 4 + Фа); (17.13) to* = Cjtt1* + С2ем — f C8e"Vsin(/cog —+ Фз);

V = DxeKlt — f — DaeA,< — j — Dse_V sin(]/coe — hl4— <p4).

Формулы (17.13) отражают типичную структуру бокового возму­щенного движения, которое состоит из двух апериодических и одного колебательного движения.

Один действительный корень по модулю гораздо меньше другого | Яа | | Я* |. [Приближенное значение большого корня, которое

значительно больше единицы, можно получить, отбрасывая в урав­нении (17.10) слагаемые со степенями Я, ниже третьей.

Получим —a3

или

Zp.

Из трех слагаемых наибольшим здесь является Мхх. Точные расчеты показывают, что « Мхх-

Приближенное значение малого корня, которое много меньше единицы, можно получить, отбросив, в уравнении (17.10) три первых слагаемых. Получим

Яа « —ajax.

Приближенные значения действительных корней можно уточнить графически, построив график функции F (Я,) = Я,4 + а3Я,3 + ааЯ2 — J — + atk + a0 в окрестностях приближенных значений и к2. Точки пересечения кривой F (к) с осью, по которой откладывается к, дадут значения действительных корней с тем большей точностью, чем круп­нее масштаб построения. Могут быть использованы и другие методы уточнения, например, метод последовательных приближений Нью­тона.

Определив действительные корни, можно найти Лб, соб и кгл при Я, з,4 = — /їв ± і — h(,.

Из уравнений (17.10) и (17.12) следует

2/lfi — (^г + ^2) = as>
а>ск 7-2 = о. й-

Откуда col = , 2Аб = а3 -|- ki -|- к2.

Анализ коэффициентов характеристического уравнения (17.10) пока­зывает, что у самолета, обладающего поперечной и путевой_статиче- ской устойчивостью, на докритических углах атаки

аа >0, а2 >0, «і >0.

Что касается коэффициента а0, то он может быть как положитель­ным, так и отрицательным. Следовательно, при упомянутых усло­виях больший по модулю корень всегда отрицателен, а меньший ко­рень к2 может иметь любой знак. При к2 > 0 самолет будет медленно отклоняться от исходного режима по апериодическому закону. Медленно нарастающий крен вызовет разворот и снижение самолета, т. е. центр масс будет двигаться по пологой спирали. В связи с этим движение, соответствующее малому корню, называется спиральным.

Из приближенного выражения для большого корня следует, что он связан с движением крена. На докритических углах атаки,

•~С0

когда Мхх < 0, движение по крену быстро затухает, демпфируется.

На закритических углах наоборот МХК >0 и вместо демпфирующего момента возникает момент самовращения. Большой корень стано­вится при этом положительным, а самолет апериодически неустой­чивым. Подробно об этом будет сказано в гл. 19.

Колебательная составляющая бокового возмущенного движения по характеру протекания довольно близка к короткопериодической составляющей продольного движения. Движение крена, если оно устойчиво, и колебательное движение развиваются быстро и отно­сятся к быстрой фазе бокового движения (см. § 17.3).